31.12.2012 - Allianz


Regulierung von Pensionsfonds 4. Da in Hinblick auf das Ziel ertragreicher Anlagestrategien in Literatur und Praxis jedoch zahlreiche weitere Vorschläge gemacht wurden, ist für die aussagekräftige Evaluation eine Erweiterung der Vergleichsbasis notwendig.

Sie sind hier:


Solche Schätzer 8 9 10 11 Vgl. Timmermann , S. Diese Arbeiten bestimmen kombinierte Schätzer zur Implementierung der Portfoliooptimierung nach Markowitz Eine ausführlichere Diskussion dieser Arbeiten findet sich in Kapitel 3. Timmermann oder Clemen Zudem hat sich die Bayessche Kombination des Zeitreihenschätzers, welche in der Literatur ebenfalls schon häufig implementiert wurde und auch in den folgenden Analysen betrachtet wird, in empirischen Untersuchungen vielfältigen anderen Schätzern überlegen erwiesen.

Der Aufbau der Kapitels gliedert sich wie folgt: Zunächst werden die verschiedenen Schätzansätze in allgemeiner Form vorgestellt Kapitel 2. Die so gewonnenen Schätzer der erwarteten Rendite werden nachfolgend eingehend hinsichtlich ihrer Verteilungseigenschaften sowie ihrer Güte analysiert. Auf diese Weise erfolgt eine erste Evaluation der empirischen Eigenschaften der Schätzer in Hinblick auf ihre Eignung zur Untersuchung zentraler Fragestellungen der modernen Kapitalmarkttheorie in den nachfolgenden Kapiteln 3 und 4 Kapitel 2.

Im Anschluss daran werden in Kapitel 2. Der Zeitreihenschät- zer für die erwartete Rendite ergibt sich für Aktie i mit: Er ergibt sich als die Summe aus dem Buchwert des Unternehmens, Bi , und dem Gegenwartswert aller erwarteten zukünftigen Residualgewinne des Unternehmens. Die Idee des Residualgewinnkonzepts basiert auf dem Vergleich von erwarteten Gewinnen einer konkreten Investitionsmöglichkeit — im vorliegenden Fall das Eigenkapital eines Unternehmens — mit denen einer Alternativinvestition.

Das Konzept des Residualgewinns besitzt bereits eine wesentlich längere Historie als die Arbeit von Ohlson Für einen Überblick über die historische Entwicklung dieses Konzepts und dessen Einsatz in vielfältigen Bereichen der betriebs- und finanzwirtschaftlichen Entscheidungsfindung vergleiche Magni Nach dem Dividendenbarwertmodell ergibt sich für Unternehmen i der Marktwert des Eigenkapitals, Vi , als Gegenwartswert aller erwarteten zukünftigen Rückflüsse aus der in ein Unternehmen getätigten Investition, d.

Aktienemissionen oder -rückkäufen —, im Bilanzgewinn Gi ,W niederschlagen. Magni , S. Die Intuition des Dividendenbarwertmodells veranschaulicht Williams , S.

A cow for her milk, a hen for her eggs, and a stock, by heck, for her dividends. Im Folgenden soll diese Äquivalenz der beiden Modelle während der Laufzeit veranschaulicht werden.

Im Deutschen wird die aus der Clean Surplus Relation resultierende Äquivalenz der Bewertungsansätze auch als Kongruenzprinzip bezeichnet, vgl. Zum einen belegen vielfältige Literaturquellen, dass Unternehmen im Laufe der letzten Jahrzehnte immer weniger Dividenden an ihre Anteilseigner ausschütten und stattdessen beispielsweise Aktienrückkäufe tätigen. Ein zweiter Vorteil des Residual Income Modells gegenüber dem Dividendenbarwertmodell ist, dass die aus dem Residual Income Modell gewonnene Schätzung der erwarteten Rendite wesentlich weniger sensitiv auf die zur Implementierung der Modelle notwendige Schätzung der langfristigen Wachstumsrate der Residualgewinne bzw.

In der Modellgleichung des RIM geht diese Wachstumsrate sowohl in den Nenner als auch den Zähler ein, während sie im Dividendenbarwertmodell lediglich in den Nenner eingeht. Betrachtet man vereinfachend den Fall, in dem die erwarteten Residualgewinne bzw.

Dividenden bereits ab der ersten Periode mit konstanter Rate wachsen,27 so führt die Erhöhung der Wachstumsrate um einen Prozentpunkt im DBM ceteris paribus zu einer Erhöhung 23 24 25 26 27 Die Äquivalenz der Bewertungsansätze ist aufgrund der dargestellten Zusammenhänge unabhängig von der Wahl eines spezifischen Abschreibungsverfahrens, vgl.

Eine genaue Beschreibung der Datensätze, auf denen die beiden Abbildungen basieren, erfolgt in Kapitel 2. Die durch die Erhöhung der Wachstumsrate implizierte Erhöhung der erwarteten Rendite bewirkt im RIM nämlich nicht nur eine Verstärkung der Diskontierung, sondern gleichzeitig auch eine Verringerung der erwarteten Residualgewinne.

Durch die Kombination können diese Informationen in einem Schätzer gebündelt werden und eine Diversifikation von Schätzfehlern erreicht werden. Dieses Theorem dient der Errechnung von Wahrscheinlichkeiten aus anderen Wahrscheinlichkeiten.

Für den renditegenerierenden Prozess wird folgende Struktur unterstellt: Bei Schätzung der erwarteten Rendite anhand der zugehörigen über die Clean Surplus Relation ermittelten Implementierung des Dividendenbarwertmodells führt eine Erhöhung der langfristigen Dividendenwachstumsrate um fünf Prozentpunkte hingegen zu einer nahezu identischen Erhöhung der erwarteten Rendite.

Dass die Erhöhung der erwarteten Rendite geringfügig niedriger ausfällt als die Erhöhung von g DBM liegt darin begründet, dass die durch g DBM induzierte Erhöhung von P den Barwert der expliziten Dividendenschätzungen der ersten fünf Perioden reduziert. Um in der Summe einen konstanten Barwert zu erhalten, muss deshalb der Dividendenbarwert der Phase konstanten Wachstums leicht ansteigen gegenüber der Ausgangssituation, d.

P steigt etwas weniger als g DBM. Diese Diversifikation ist offensichtlich nur dann möglich, wenn die Schätzfehler nicht perfekt korreliert sind. Ebenso gilt, dass die Kombination von Schätzungen tendenziell umso weniger nützlich ist, je stärker die Überlappung der den Schätzungen zugrunde liegenden Informationen ist, vgl.

Innovationen dieser N Wertpapiere zum Zeitpunkt t. Die Wertpapierrenditen werden als normalverteilt unterstellt: Dieser wahre Erwartungswert ist dem Investor unbekannt und somit — wie kennzeichnend für einen Bayesschen Rahmen — eine Zufallsvariable.

Der Erwartungswert dieser Verteilung wird mit P Prior bezeichnet. Unter Verwendung von 2. Oertmann , S. Diesem Vorgehen wird auch in der vorliegenden Arbeit gefolgt. Der Prior ist keine Zufallsvariable. Diese Zusatzinformation kann entweder aus Renditerealisationen herrühren, sie kann jedoch auch aus anderen Quellen stammen.

Das Theorem von Bayes stellt keine Bedingung an die Art der Verteilungen, welche der Bestimmung des bedingten Erwartungswertes des betrachteten Parameters zugrunde liegen. Es besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Zustands xi , falls die Zusatzinformation y j beobachtet wird, der unbedingten Apriori- Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von xi multipliziert mit dem Verhältnis des Likelihoods für y j gegeben xi , p y j x i , zur unbedingten Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von y j , p y j , entspricht: Sie wird als Aposteriori-Wahrscheinlichkeit bezeichnet, vgl.

Durch Multiplikation eines jeweiligen xi mit seiner zugehörigen AposterioriWahrscheinlichkeit und Summierung über alle möglichen Ausprägungen von xi ergibt sich der bedingte Erwartungswert nach Beobachtung von y j. Werden anstelle von diskreten kontinuierliche Verteilungen der Zufallsvariablen xi und y j unterstellt, so müssen zur Bestimmung des bedingten Erwartungs34 wertes Annahmen über die konkreten Verteilungen dieser Variablen getroffen werden.

Besitzt die Prior-Schätzung die Struktur aus Gleichung 2. Wird zur Kombination mit dieser Prior-Schätzung beispielsweise ein Zeitreihenschätzer auf Basis von T Renditerealisationen mit einer Struktur entsprechend 2. Kombination des Zeitreihenschätzers mit der mittleren historischen Indexrendite und 3.

Der zweite Ansatz wurde bspw. Er zeigt, dass diese Varianz für den vereinfachenden Ansatz entsprechend 2. Dies gilt unabhängig davon, wie deren Schätzfehler korreliert sind. Die optimale Gewichtung in diesem Fall identischer Varianzen ist die Gleichgewichtung. Besitzen die beiden in die Kombination eingehenden Schätzer unterschiedliche Varianzen, so entspricht das Vorgehen entsprechend 2. In Hinblick auf die empirische Umsetzung zeigt sich die Vernachlässigung von Korrelationen zwischen Schätzfehlern aufgrund der damit verbundenen Schätzfehlerproblematik oft dominant gegenüber der Bestimmung der theoretisch optimalen Gewichte, vgl.

Die Präzision ist definiert als der Kehrwert der Varianz. Für die Verwendung einer beliebigen Anzahl von Schätzern ergibt sich eine analoge Struktur des kombinierten Schätzers. Während in der theoretischen Herleitung des Bayesschen Schätzers der erwarteten Rendite zwischen Prior, welcher keine Zufallsvariable ist, sowie der Zusatzinformation in Form einer Zufallsvariable unterschieden wird, ist diese Unterscheidung für die nachfolgende empirische Umsetzung des Bayesschen Schätzansatzes unerheblich.

Unabhängig davon, welcher der beiden Schätzer jeweils als Prior interpretiert wird, ergibt sich der identische Schätzwert. Zunächst erfolgt eine kurze Beschreibung der betrachteten Unternehmensstichproben. Dann werden die zur Implementierung der Schätzansätze verwendeten Daten vorgestellt und erläutert, wie die Aufbereitung dieser Daten sowie die empirische Umsetzung der in Kapitel 2.

Schätzung der erwarteten Überrendite auf Basis von Renditerealisationen Der Zeitreihenschätzer für die erwartete Überrendite wird auf Basis von Monatsdaten bestimmt.

Die Schätzung erfolgt für jedes Unternehmen i in jedem Monat t auf Basis eines rollierenden Schätzfensters, welches die dem Schätzzeitpunkt t vorausgehenden zwölf Monate umfasst. Für die detaillierte Beschreibung der Indexzusammenstellung vgl. Deutsche Börse Group a. Der Startzeitpunkt der Untersuchung wird determiniert durch die erstmalige Verfügbarkeit von Geldund Briefkursen der im Sample enthaltenen Unternehmen.

Diese Daten werden in Kapitel 4 zum Test der dort beschriebenen Kapitalmarktmodelle benötigt. Dieser Zeitpunkt ist bestimmt durch die erstmalige Verfügbarkeit der durch Analysten geschätzten mittleren langfristigen Wachstumsrate der zukünftigen Unternehmensgewinne, welche zur Bestimmung der erwarteten Rendite über das Residual Income Modell benötigt wird.

Wie in Kapitel 2. Die rollierende Mittelwertbildung besitzt den Vorteil, eine NichtStationarität der geschätzten Parameter erfassen zu können, vgl. Jorion , S. Auch diese Daten werden der Datastream-Datenbank entnommen. Schätzung der erwarteten Überrendite auf Basis von Analystenschätzungen Die Schätzung der erwarteten Rendite unter Verwendung des Residual Income Modells von Ohlson erfolgt unter Rückgriff auf die Erwartungen von Analysten bezüglich zukünftiger Gewinne und Buchwerte der betrachteten Unternehmen.

Die Entwicklung der erwarteten Residualgewinne wird in zwei Phasen unterteilt: In Phase eins, welche die ersten fünf auf den Schätzzeitpunkt folgenden Jahre, W 1,.. Allerdings liegen nicht für alle Unternehmen und 45 46 47 Im weiteren Verlauf der Arbeit wird der Subindex r generell zur Kennzeichnung für Schätzer der erwarteten Überrendite über den risikolosen Zinssatz verwendet.

Der Performanceindex wird für Einzelaktien bestimmt, indem Dividenden einer Aktie zum Schlusskurs des Ex-Dividendendatums in die betreffende Aktie reinvestiert werden. Thomson Datastream , S. In der Untersuchung werden nur solche Unternehmen berücksichtigt, für die im Zeitpunkt t mindestens die folgenden Daten vorliegen: Die Ermittlung der erwarteten Buchwerte geschieht analog zur Ermittlung der erwarteten Gewinne.

Bezüglich der zweiten Wachstumsphase also für alle Jahre nach dem fünften Jahr wird unterstellt, dass die Residualgewinne und Buchwerte eines Unternehmens entsprechend der erwarteten Inflationsrate wachsen. Kombinationen von Schätzungen der erwarteten Überrendite Im Folgenden wird die empirische Bestimmung der in dieser Arbeit betrachteten Kombinationen von Schätzern der erwarteten Rendite dargestellt.

Dies sind die Kombination von 48 49 Dies impliziert eine Konstanz des realen Residualgewinns, vgl. Grundsätzlich teilt sich die Literatur zur Implementierung des Residual Income Modells in zwei Gruppen bezüglich der Annahme der ewigen Wachstumsrate auf.

Das bedeutet faktisch, dass der reale Residual Income in jeder Periode um die Inflationsrate schrumpft. Dies entspricht dem in der vorliegenden Arbeit implementierten Ansatz. Zur Untersuchung der Ergebnisstabilität bezüglich der unterstellten langfristigen Wachstumsrate wird in der vorliegenden Arbeit jedoch auch der erstgenannte Ansatz implementiert.

Verweise auf die Ergebnisse dieses alternativen Ansatzes finden sich an den entsprechenden Stellen im Text. Die kombinierten Schätzer werden wie die ihnen zugrunde liegenden RIM- und Zeitreihenschätzer auf monatlicher Frequenz bestimmt. Die allgemeine Struktur eines Schätzers der erwarteten Überrendite, welcher sich durch Bayessche Kombination zweier alternativer Schätzer ergibt, wurde in Kapitel 2. Die Güte des kombinierten Schätzers wird in der empirischen Umsetzung somit zum einen durch die Güte der verwendeten Schätzungen für die erwartete Rendite und zum anderen durch die Güte der zur Kombination verwendeten Gewichte determiniert.

Damit unterscheidet sich die dritte Kombination insofern von den beiden vorausgehenden, dass hier keiner der beiden Schätzer über Längs- und Querschnitt konstant ist. Dass eine solche vereinfachende Annahme in der Regel in der empirischen Umsetzung des Schätzverfahrens nicht zu schlechteren, sondern zu besseren Ergebnissen führt, bemerkt bspw. Aufgrund von Schätzfehlern bei der empirischen Bestimmung der theoretisch optimalen Gewichte erweist es sich deshalb sogar oft als empfehlenswert, simple Gleichgewichtungen der Schätzer vorzunehmen.

Im Rahmen der gewählten Implementierung ist es unerheblich, welcher der beiden Schätzer als Prior und welcher als Zusatzinformation betrachtet wird. Dass die beiden Schätzer nahezu gleich gewichtet in die Kombination eingehen, erscheint zunächst überraschend. Wie die Analyse der empirischen Güte der Schätzer im nachfolgenden Kapitel 2.

Üblicherweise wird dazu dem Vorgehen von Jorion gefolgt. Die Schätzung erfolgt auf Basis der Renditezeitreihen in Stehle Für die Verteilung der erwarteten Überrendite wird nun eine Struktur vorgegeben.

Alternativ kann die Bestimmung der zur Kombination von Zeitreihenschätzer und Indexrendite verwendeten Gewichte über die mittleren quadratischen Fehler erfolgen — entsprechend des vorausgehend dargestellten Vorgehens zur Kombination von Zeitreihenschätzer und RIM-Schätzer.

Auch dieser Ansatz wurde für die vorliegende Arbeit implementiert. Im weiteren Verlauf werden jedoch lediglich die Ergebnisse der Kombination nach Jorion berichtet. Neben der Vergleichbarkeit zu den Ergebnissen früherer Studien ist der bedeutendere Grund hierfür, dass der Ansatz nach Jorion zu präziseren Schätzungen und durchgängig besseren Ergebnissen in der Implementierung der Portfoliooptimierung in Kapitel 3 führt und somit eine höhere Benchmark für den im Zentrum der Untersuchungen stehenden RIM-Schätzer darstellt.

Dort sind folgende Informationen verfügbar: Realrendite bezeichnen und rinfl die jährliche Inflationsrate, können jährliche Nominalrenditen für Aktien und Staatsanleihen bestimmt werden. Unter Vorgabe dieser Struktur kann die erwartete Überrendite auf Basis von Zeitreihendaten realisierter Überrenditen entsprechend Jorion für Aktie i zum Zeitpunkt t bestimmt werden als: Diese Anzahl beträgt wie oben erläutert zwölf Monatsrenditen.

Es wird daher wie bei Jorion unterstellt, dass die Streuung der wahren erwarteten Renditen der betrachteten Aktien um den Mittelwert Pr 0 proportional zur Kovarianzmatrix der Rendite ist: Dieser wird wie in Kapitel 2.

Die Einteilung der folgenden Unterkapitel orientiert sich dabei an den folgenden beiden Fragestellungen: Wie stark variieren die verschiedenen Schätzer der erwarteten Rendite Kapitel 2. Wie unterscheiden sich die verschiedenen Schätzer hinsichtlich ihrer Güte Kapitel 2.

Die Untersuchung der ersten Fragestellung ist im Wesentlichen deskriptiver Natur. So wird im Rahmen der Analysen betrachtet, wie die mittels der verschiedenen Verfahren bestimmten Schätzer der erwarteten Rendite über die Zeit bzw. Die Analysen geben einen ersten Anhaltspunkt über die Eignung der Schätzer für die nachfolgenden Untersuchungen der Kapitel 3 und 4. Eine Information von zentraler Bedeutung für diese Untersuchungen ist beispielsweise, dass Schätzer im Querschnitt variieren.

Eine fehlende Variation der erwarteten Rendite würde in der Portfoliooptimierung nach Markowitz zur Investition in das globalvarianzminimale Portfolio führen und eine Schätzung der erwarteten Rendite generell überflüssig machen. In Hinblick auf die Tests von Kapitalmarktmodellen würde eine fehlende Querschnittsvariation von erwarteten Renditen in generellem Widerspruch zu grundlegenden ökonomischen Theorien zur Bewertung von Wertpapieren stehen.

In diesen Fällen wurden zwei mögliche Vorgehensweisen betrachtet: Dieser zweite Ansatz gewährleistet somit, dass jeder Schätzer eine Kombination der beiden Ausgangsschätzungen ist. Beide Vorgehensweisen wurden implementiert. Die in der Arbeit berichteten Ergebnisse folgen dem zweiten Ansatz. Da es sich um Einzelfälle handelt, in denen dieses Vorgehen angewendet werden musste, unterscheiden sich die Ergebnisse beider Vorgehensweisen nur geringfügig.

Eine hohe Güte der Schätzer ist im Kontext der vorliegenden Arbeit insbesondere aus zwei Gründen bedeutsam: Je präziser ein Schätzer, desto höher fällt im Mittel der Anlageerfolg aus, der im Rahmen der Markowitz-Optimierung erzielt werden kann.

Bei Verwendung sehr unpräziser Schätzer der erwarteten Rendite im Rahmen solcher Tests bleibt unklar, ob insignifikante Ergebnisse im Modelltest lediglich auf die schlechte Qualität der Schätzer zurückzuführen sind.

Die zeitliche Entwicklung des Querschnittsmittelwertes gibt Auskunft über Unterschiede in der mittleren erwarteten Überrendite während des Untersuchungszeitraums.

Die zeitliche Entwicklung der Querschnittsvariation gibt Auskunft über Unterschiede in der Heterogenität der geschätzten erwarteten Renditen in verschiedenen Phasen des Untersuchungszeitraums. Diese Informationen sind für die Analysen der Kapitel 3 und 4 — insbesondere die dortigen Stabilitätsuntersuchungen bezüglich der Teilperioden — von Interesse.

Die Analyse der Verteilungseigenschaften erfolgt auf beiden Untersuchungsebenen zunächst für die deutsche Datenstichprobe. Nachfolgend werden die Ergebnisse für das USamerikanische Sample präsentiert, was einen Vergleich der beiden Stichproben hinsichtlich der Eigenschaften der Schätzer für die erwartete Rendite ermöglicht.

Variation im gepoolten Sample In Tabelle sind die deskriptiven Statistiken der Schätzer der erwarteten Rendite pro Monat über die gepoolte deutsche Stichprobe enthalten. Die Stichprobe umfasst über den Zeitraum 66 Vgl. Memmel , S. Der Untersuchungszeitraum umfasst die Periode von Dezember bis Oktober Da die kombinierten Schätzer keine zusätzlichen Daten gegenüber dem Zeitreihenschätzer bzw. Entsprechend der Datenverfügbarkeit umfasst das Sample für jeden Schätzer 8.

Diese Reduktion ist dadurch bedingt, dass der zur Kombination verwendete Schätzer eine Konstante ist. Die unterschiedlichen Volatilitäten spiegeln sich auch in den Differenzen der in den Spalten 5 und 6 von Tabelle berichteten Quantile wider.

In Abbildung finden sich die Verteilungen der kombinierten Schätzer. Die Mittelwerte der Verteilungen liegen jeweils in der Mitte der Achsen, d. Wie aus Abbildung ersichtlich, sind die beiden Verteilungen sehr ähnlich.

Dies veranschaulicht den in Tabelle berichteten Unterschied um den Faktor zehn in den Standardabweichungen der Verteilungen der Schätzer, der in den unterschiedlichen Skalierungen der Achsen erfasst ist. Deutlich ersichtlich sind die Stauchungen der Verteilungen durch die Kombination sowie die leichte Veränderung der Mittelwerte.

Im Vergleich mit dem Zeitreihenschätzer reduziert sich die Standardabweichung des Schätzers auf knapp die Hälfte bzw. Die umfassende Literatur zu Schätzrisiken bezüglich erwarteter Renditen deutet auf den zweiten Erklärungsansatz hin. Bevor jedoch auf diese Ergebnisse eingegangen wird, soll zunächst die Variation der erwarteten Rendite im Zeitablauf genauer analysiert werden. Variation im Zeitablauf Im Folgenden wird der Querschnittsmittelwert der erwarteten Überrendite für die Unternehmen der deutschen Stichprobe hinsichtlich seiner Variation über die Zeit untersucht.

Dazu wird für jeden der fünf verschiedenen Schätzer der erwarteten Überrendite eine Zeitreihe von Querschnittsmittelwerten bestimmt. Dabei beziehen sich die Einträge für den Zeitrei70 Vgl. Merton oder Lundblad Die zeitliche Entwicklung des RIM-Schätzers weist für das erste sowie das letzte Drittel des Untersuchungszeitraums eine vergleichsweise geringe Streuung auf. Die mittlere Phase des Untersuchungszeitraums fällt mit der Phase des Abschwungs und erhöhter Volatilität am deutschen Aktienmarkt zusammen vgl.

Im ersten sowie im letzten Drittel des Untersuchungszeitraums zeigen die Querschnittsmittelwerte auch für diesen einen etwas stabileren Verlauf als im mittleren Drittel. Während in der ersten und dritten Phase des betrachteten Zeitraums nur vereinzelt gegenläufige Entwicklungen der mittleren erwarteten Rendite aus Zeitreihen- und RIM-Schätzer und somit vergleichsweise geringe Korrelationen zu beobachten sind, ist in den Jahren bis , in welchen starke Abwärtsbewegungen des Marktes auftraten, die negative Korrelation der Querschnittsmittelwerte gut ersichtlich.

In diesen Jahren steigt das Niveau der erwarteten Rendite für den RIM-Schätzer an, während es für den Zeitreihenschätzer abfällt und teilweise negativ wird. Neben dem negativen Zusammenhang von erwarteter Rendite und Risiko ist auch dieses negative Niveau der mittleren erwarteten Überrendite der Aktien ökonomisch unplausibel. Auch in diesen Monaten des ersten Drittels des Untersuchungszeitraums besteht — wie für das gesamte zweite Drittel des Untersuchungszeitraums — eine negative Korrelation der Schätzer.

Der exakt gleichgerichtete Verlauf der Graphen für den Zeitreihenschätzer und dessen Kombination mit dem Index spiegelt wider, dass sowohl der Prior als auch die zur Kombination verwendeten Gewichte von Zeitreihenschätzer und Indexrendite im Zeitablauf sowie über alle Unternehmen konstant sind. Entscheidend für den gleichartigen Verlauf dieses Schätzers mit dem Zeitreihenschätzer ist das deutlich höhere absolute Niveau der Ausprägungen des Zeitreihenschätzers gegenüber den Ausprägungen des RIM-Schätzers, welcher somit in der Kombination der beiden Schätzer dominiert.

Die vorausgehende graphische Längsschnittsanalyse erfolgte anhand der zeitlichen Entwicklung der Querschnittsmittelwerte. Die Betrachtung der Querschnittsmittelwerte in Abbildung und Abbildung gibt allerdings keine Auskunft darüber, wie stark die erwarteten 36 2 Schätzung der erwarteten Rendite Renditen in einem jeweiligen Zeitpunkt über die verschiedenen Unternehmen streuen.

Für die Portfoliooptimierung nach Markowitz impliziert eine höhere Querschnittsstreuung der erwarteten Renditen ceteris paribus eine höhere ex ante Sharpe-Ratio des optimalen Aktienportfolios. In Bezug auf die Schätzung von Kapitalmarktmodellen impliziert eine höhere Querschnittsvariation der erwarteten Renditen ceteris paribus höhere Ausprägungen der Risikoprämien. Die deskriptiven Statistiken zeigen die aus der Mittelung im Querschnitt resultierende starke Reduktion der Variation gegenüber der Variation der Einzelbeobachtungen im gepoolten Sample.

So ist die zeitliche Standardabweichung der monatlichen Mittelwerte für jeden der fünf Schätzer jeweils nur rund halb so hoch wie die Standardabweichung des zugehörigen gepoolten Samples. Leichte Ergebnisdifferenzen ergeben sich für das zugrunde liegende Sample lediglich deshalb, weil aufgrund fehlender Daten bzw. So entsprechen die Mittelwerte der Querschnittsmittelwerte für den Zeitreihenschätzer mit rd.

So erhalten Wertpapiere mit extremen Parametern in der Portfoliooptimierung nach Markowitz tendenziell hohe Gewichte, wodurch aus einer hohen Querschnittsvariation aufgrund von Schätzfehlern starke Fehlallokationen in der Vermögensaufteilung resultieren können, vgl. Ebenso gilt in Hinblick auf Kapitalmarktmodelltests, dass eine höhere Querschnittsvariation der erwarteten Renditen aufgrund von Schätzfehlern keinen Einfluss auf die Höhe der Entlohnung von Risikofaktoren hat.

Auch die Ergebnisse der Kapitalmarktmodelltests auf Basis realisierter Renditen in Kapitel 4 legen diese Schlussfolgerung nahe. Sie beträgt im Vergleich der gepoolten Samples das Zehnfache. Ebenfalls um den Faktor zehn unterscheiden sich die Streuungen der Querschnittsmittelwerte im Zeitablauf.

Variation im gepoolten Sample Tabelle enthält die deskriptiven Statistiken der Schätzer der erwarteten monatlichen Rendite für das gepoolte US-amerikanische Sample. Dieses Sample umfasst über den Zeitraum von Dezember bis Oktober insgesamt Die nachfolgenden Untersuchungen für den US-amerikanischen Markt besitzen somit eine Datenbasis, die mehr als dreizehnmal so umfangreich ist wie die Datenbasis für den deutschen Markt. Für das US-Sample ergäbe sich bei vollständiger Verfügbarkeit der Schätzer während der Untersuchungsmonate eine Gesamtanzahl von Damit liegt das Niveau der Mittelwerte sowie auch das Niveau der Mediane für alle Schätzer etwas geringer als in der deutschen Stichprobe.

Dieser Unterschied ist vornehmlich auf die unterschiedlichen Zeiträume der beiden Stichproben zurückzuführen. Dieser Schätzer für die erwartete Monatsrendite besitzt eine Standardabweichung von rd. Darauf folgen mit zunehmender Standardabweichung die Kombinati76 Während das deutsche Sample die Periode von bis umfasst, beginnt das US-Sample bereits fünfzehn Jahre eher im Jahr Insbesondere die er Jahre waren jedoch wie auch anhand von Abbildung in der nachfolgenden Analyse der mittleren erwarteten Rendite im Zeitablauf ersichtlich durch geringe erwartete Überrenditen gekennzeichnet.

Bei einem Mittelwert des risikolosen Zinssatzes von rd. Die Standardabweichungen des Zeitreihenschätzers sowie von dessen Kombinationen mit der Indexrendite bzw.

Die Achsenbeschriftung für den Zeitreihenschätzer bleibt unverändert gegenüber der Darstellung für Deutschland. Wie aus Abbildung ersichtlich, führt die Skalierung der Achsen zu ähnlichen graphischen Abbildungen der Verteilungen der beiden Schätzer.

Die Standardabweichung der Kombination aus Zeitreihenschätzer und Indexrendite beträgt lediglich noch ein Zehntel der Standardabweichung des unkombinierten Zeitreihenschätzers. Variation im Zeitablauf Im Folgenden wird für das amerikanische Sample entsprechend des Vorgehens für das deutsche Sample in Kapitel 2. Abbildung und Abbildung stellen die zeitliche Entwicklung der Querschnittsmittelwerte der verschiedenen Schätzer dar.

Innerhalb der er Jahre sowie nach dem Jahrtausendwechsel sind hingegen auch negative Werte von rd. Lediglich für die ersten beiden Jahre des Untersuchungszeitraums liegt die erwartete Überrendite unterhalb dieses Intervalls.

Der Verlauf der Querschnittsmittelwerte der Kombination aus 78 Bezüglich der ökonomischen Plausibilität dieser Ergebnisse vgl. Eine vergleichbare Entwicklung der Querschnittsmittelwerte im Zeitablauf war für die kombinierten Schätzer innerhalb des deutschen Samples zu beobachten.

Abbildung A-4 in Anhang A. Zusammenfassend zeigen die deskriptiven Analysen der Kapitel 2. Diese Unterschiede sind für die nachfolgenden Untersuchungen der Kapitel 3 und 4 beachtenswert, da beispielsweise in der Portfoliooptimierung nach Markowitz Differenzen in den Eigenschaften der Schätzer Abweichungen der ex ante von diesen Schätzern aufgespannten effizienten Ränder bewirken, aus denen wiederum Unterschiede für die Zusammensetzung der zugehörigen Tangentialportfolios resultieren.

Die zentrale Frage in diesem Zusammenhang ist, welche Schätzer näher an den wahren Parametern liegen bezüglich Niveau und Streuung und damit zu besonders guten Anlageentscheidungen, d. In der Höhe der Standardabweichung spiegelt sich die durch die Bildung der Querschnittsmittelwerte deutlich reduzierte Variation gegenüber dem gepoolten Sample wider. Für alle Schätzer der erwarteten Rendite beträgt die Standardabweichung der Querschnittsmittelwerte nur rd.

Hier steht die Frage im Mittelpunkt, welche Risiken und Charakteristika eines Unternehmens tatsächlich und in welcher Höhe entlohnt werden. Aufgrund der vorausgehend vorgefundenen Unterschiede in den Verteilungseigenschaften stellt sich deshalb die Frage nach der Güte der Schätzer. Diese wird im Folgenden untersucht. Die Analyse der Güte des RIM-Schätzers sowie dessen Bayesscher Kombination im Vergleich mit alternativen Schätzern erlaubt eine erste Einschätzung hinsichtlich der Eignung dieser Schätzer für die Untersuchung von Fragestellungen der modernen Kapitalmarkttheorie, für welche präzise — d.

Zur empirischen Bestimmung des MSE eines Unternehmens wird für jede Periode t des Untersuchungszeitraums die Abweichung der für diese Periode geschätzten erwarteten Rendite von der realisierten Rendite des Unternehmens in dieser Periode ermittelt. Für die fünf verschiedenen Schätzer der erwarteten Rendite werden jeweils sowohl die über alle Unternehmen summierten MSE als auch jeweils deren Aufteilung in Varianz und quadrierte Verzerrung der Schätzer berichtet.

Die Beobachtungsanzahl T entspricht dabei der Anzahl von Schätzern der erwarteten Rendite, welche für den gesamten Untersuchungszeitraum für das jeweils betrachtete Unternehmen verfügbar sind, d.

In den Spalten 4 und 5 sind analog die Summe der Varianzen eines jeweiligen Schätzers über alle Aktien sowie die mittlere Standardabweichung eines jeweiligen Schätzers je Aktie dargestellt. In den Spalten 6 und 7 sind jeweils die Summe der quadrierten Verzerrungen für jeden der fünf Schätzer über alle Aktien sowie für jeden Schätzer die mittlere Verzerrung je Aktie erfasst. Diese Gleichheit gilt jedoch nur, wenn die Varianz, wie in Spalte 4, als Maximum-Likelihood-Schätzer bestimmt wird und nicht als der erwartungstreue Schätzer.

Vergleichbare Ergebnisse findet Jorion , S. So beträgt für Monatsdaten die Standardabweichung der realisierten Rendite üblicherweise gut das Zehnfache des Mittelwertes der realisierten Rendite. Denn wenn die Güte eines Schätzers aufgrund der Unbeobachtbarkeit erwarteter Renditen unter Verwendung der realisierten Rendite bestimmt werden muss, dann gilt in gleicher Weise die Problematik, welche bereits in Bezug auf die Schätzung erwarteter Renditen unter Verwendung realisierter Renditen diskutiert wurde.

Dies gilt sowohl für die über alle Unternehmen summierten quadratischen Verzerrungen in Spalte 6 als auch für die mittlere Verzerrung in Spalte 7. Dies gilt ebenso für die Varianz dieses Schätzers sowie hinsichtlich des Mittelwertes der Verzerrungen. Da die Einträge in Tabelle dem generellen Vergleich der Güte der verschiedenen Schätzverfahren dienen, gehen dort durch die Summierung bzw. Diese Informationen werden in den folgenden Abbildung und veranschaulicht.

Zunächst erfolgt in Abbildung der Vergleich der 86 87 88 Vgl. Die negativen Vorzeichen aller Einträge in Spalte 7 von Tabelle implizieren, dass für das deutsche Sample alle Schätzer der erwarteten Überrendite im Mittel jeweils ein geringeres Niveau als die realisierte Überrendite besitzen. Jorion untersucht jedoch keine Einzelaktien, sondern sieben Industriegruppen. Die Ergebnisse sind in Tabelle enthalten. Nur geringfügig höher ist der mittlere Rangplatz der Kombination aus Zeitreihenschätzer und Indexrendite, auf welche dann mit wiederum nur geringem Abstand der unkom- 48 2 Schätzung der erwarteten Rendite binierte RIM-Schätzer folgt.

Mit deutlichem Abstand folgen darauf die Kombination aus Zeitreihen- und RIM-Schätzer sowie der traditionelle Zeitreihenschätzer mit einem mittleren Rangplatz von 4, Zur Veranschaulichung dieser Zahl kann an einen Schätzer gedacht werden, welcher für die Hälfte der Unternehmen den höchsten und für die andere Hälfte der Unternehmen den zweithöchsten MSE besitzt.

Der RIM-Schätzer dominiert den Zeitreihenschätzer in dem Sinne, dass die kumulierte Unternehmensanzahl für diesen hinsichtlich jedes Rangplatzes höher ist als für den Zeitreihenschätzer. Diese Dominanz gegenüber dem Zeitreihenschätzer gilt auch für alle anderen Schätzer. Eine ähnlich hohe Güte zeigt sich für die Kombination aus Zeitreihenschätzer und Indexrendite in Anlehnung an Jorion Bevor jedoch die diesbezüglichen Untersuchungen erfolgen, soll zunächst noch analysiert werden, ob sich die Unterschiede in der Güte der betrachteten Schätzansätze für das USamerikanische Sample bestätigen.

Da das US-Sample sowohl in Quer- als auch in Längsschnitt deutlich umfangreicher als das deutsche Sample ist, besitzen diese Summen im Vergleich ein deutlich höheres Niveau.

Die Rangreihung der Schätzer hinsichtlich ihrer Güte in Tabelle ist sehr ähnlich zu Tabelle für das deutsche Sample. In Bezug auf die mittlere Verzerrung ist zu bemerken, dass der Zeitreihenschätzer das Niveau der erwarteten Rendite im Mittel leicht überschätzt.

Alle anderen Schätzer unterschätzen wie für das deutsche Sample die erwartete Rendite im Mittel. Die mittlere Rangposition ist mit 1,88 noch deutlich geringer als für das deutsche Sample mit 2,32 vgl. Die mittlere Rangposition liegt für diesen Schätzer bei 2, Auf dem dritten Platz folgt mit einer nur geringfügig höheren mittleren Rangposition von 2,40 der unkombinierte RIM-Schätzer.

Mit einem ebenso deutlichen Abstand von 1,24 folgt auf Platz fünf der unkombinierte Zeitreihenschätzer. Hier ergibt sich ebenfalls ein nahezu identisches Bild wie für das deutsche Sample: Die Dominanz aller übrigen Schätzer gegenüber dem Zeitreihenschätzer besteht in Analogie zum deutschen Sample.

So besitzt die Kombination des RIM-Schätzers jeweils eine höhere kumulierte Anzahl an Rangplätzen eins und zwei, während dies für die Kombination des Zeitreihenschätzers hinsichtlich der Ränge drei und vier gilt. Die starke Ähnlichkeit von Abbildung und Abbildung offenbart, dass die Rangordnungen der Schätzverfahren nahezu unabhängig vom betrachteten Datensample sind. Zusammenfassend zeigen die Untersuchungen für das US-amerikanische Sample, dass der Zeitreihenschätzer die geringste Güte aller betrachteten Schätzer besitzt.

Eine nochmalige Verbesserung in Bezug auf die betrachteten Gütekriterien kann im Vergleich zu diesem durch die Bayessche Kombination des RIM-Schätzers und des Zeitreihenschätzers mit der historischen Indexrendite erzielt werden. Zudem wurden erstmalig in der Literatur Bayessche Kombinationen des RIM-Schätzers mit der mittleren vergangenen Indexrendite sowie mit dem traditionellen Zeitreihenschätzer betrachtet. Als Referenzpunkt in der Analyse diente dabei der Zeitreihenschätzer sowie die in der Literatur bereits zuvor verwendete Bayessche Kombination des Zeitreihenschätzers mit der mittleren historischen Indexrendite in Anlehnung an Jorion Die Attraktivität des RIM-Schätzers resultiert aus theoretischer Sicht insbesondere daher, dass die Schätzung der erwarteten Rendite unter Verwendung zukunftsgerichteter Informationen erfolgt und nicht wie bei den traditionellen Schätzverfahren unter Verwendung realisierter Renditen der Vergangenheit.

Die Analyse der empirischen Eigenschaften umfasste die Betrachtung der Verteilungseigenschaften sowie der Güte der alternativen Schätzansätze. Die Analysen zeigen eine deutliche Variation aller Schätzer, die unternehmensspezifische sowie zeitvariable Informationen hinsichtlich der erwarteten Rendite impliziert.

Die Rangordnung der Güte der verschiedenen Schätzverfahren erweist sich als extrem stabil über die beiden betrachteten Samples für Deutschland und die USA. Die zentralen Ergebnisse der Analysen des zweiten Kapitels lauten damit wie folgt: Damit heben sich der RIM-Schätzer als auch dessen Kombination mit der Indexrendite deutlich vom traditionellen Zeitreihenschätzer ab, der eine sehr geringe Güte besitzt. Die im Vergleich mit anderen Schätzern für die erwartete Rendite hervorragenden Eigenschaften des RIM-Schätzers und dessen Kombination mit der historischen Indexrendite lassen einen erfolgversprechenden Einsatz dieser Schätzer für die Untersuchung bedeutender Fragen der Kapitalmarkttheorie erwarten, für welche die erwartete Rendite ein zentraler Inputparameter ist.

Zwei dieser Fragestellungen, die Implementierung der Portfoliooptimierung nach Markowitz und der Test von theoretischen Kapitalmarktmodellen, sind Untersuchungsgegenstand der beiden folgenden Hauptkapitel 3 und 4. Hauptursache hierfür sind fehlerhafte Schätzungen für die erwarteten Renditen.

Es wird untersucht, ob diese Schätzer der erwarteten Rendite zu einem überlegenen Erfolg in der empirischen Umsetzung der Portfoliooptimierung führen.

Betrachtet werden hierfür Unternehmensstichproben des deutschen und des US-amerikanischen Kapitalmarktes. Als Referenz für den Erfolg der Anlagestrategien dienen zum einen Implementierungen der MarkowitzOptimierung auf Basis in der Literatur vorgeschlagener alternativer Schätzer der erwarteten Rendite, zum anderen aber auch heuristische, in der Praxis weit verbreitete Ansätze, wie die Gleichgewichtungsstrategie oder das Indexinvestment.

Markowitz selbst betont in den einführenden Sätzen seiner Arbeit, dass die empirische Implementierung seines Ansatzes zur Portfoliooptimierung einen zweistufigen Prozess umfasst: The first stage starts with observation and experience and ends with beliefs about the future performances of available securities. Aufgrund dieser Problematik hat die Portfoliooptimierung nach Markowitz in der Praxis kaum Verbreitung gefunden, vgl.

Empirische Belege für den schlechten Anlageerfolg der traditionellen Portfoliooptimierung finden sich bspw. This paper is concerned with the second stage. Üblicherweise wird dabei auf Zeitreihenschätzungen aus vergangenen Renditerealisationen zurückgegriffen. Dieses Vorgehen blendet nicht nur aus, dass neben dem — auch in der Theorie vorhandenen — Renditeinnovationsrisiko in der empirischen Umsetzung zugleich ein Schätzrisiko hinsichtlich der Parameter existiert.

Bezüglich des Schätzrisikos der in der Portfoliooptimierung verwendeten Parameter muss differenziert werden zwischen dem Schätzrisiko der ersten Momente erwartete Renditen und dem Schätzrisiko der zweiten Momente Varianzen und Kovarianzen der Renditen. Memmel veranschaulicht, wirken sich Schätzfehler in den erwarteten Renditen nicht nur wesentlich stärker in Abweichungen von den optimalen Gewichten und somit im Anlageerfolg aus als Schätzfehler in den zweiten Momenten.

So hat Merton gezeigt, dass die Präzision von Schätzungen der Varianz-Kovarianz-Matrix durch eine Erhöhung der zugrunde liegenden Datenfrequenz gesteigert werden kann, während dies für die Schätzung der erwarteten Rendite nicht gilt. Es besteht deshalb Konsens in der Literatur, dass in der Implementierung der MarkowitzOptimierung die Schätzung der erwarteten Renditen das zentrale Problem darstellt und nicht die Schätzung der Varianz-Kovarianz-Matrix. Frühe empirische Umsetzungen der Portfoliooptimierung stammen bspw.

Die Schätzfehlerproblematik wird in diesen Arbeiten nicht angesprochen. Erstmalig thematisiert wurden die Problematik fehlerhaft geschätzter Parameter und deren negative Auswirkung auf den Anlageerfolg zu Beginn der 3 4 5 6 Vgl. Ein analoges Ergebnis findet sich auch in Jorion Hinsichtlich der Implementierung der Markowitz-Optimierung wird dort die ex ante Performance verschiedener Strategien miteinander verglichen, wobei sich ebenfalls die Bayessche Kombination der traditionellen Markowitz-Optimierung überlegen erweist.

Die Untersuchungen über sieben verschiede7 8 9 10 Die Arbeiten modellieren einen sog. Dieses Vorgehen führt gegenüber der Nicht-Berücksichtigung von Schätzrisiken — bei unveränderten Schätzern der ersten Momente — zu einer einheitlichen Streckung der Schätzer der zweiten Momente um einen konstanten Faktor. Es wird ein Anlageuniversum von sieben Länderindizes im Zeitraum bis betrachtet. Hier wird also nicht auf der ersten Stufe, d.

Unterschieden werden kann in diesem Literaturbereich zwischen Arbeiten, welche absolute Gewichtsrestriktionen auferlegen bspw. Diese Arbeiten kommen übereinstimmend zu dem Ergebnis, dass die Auferlegung von Gewichtsrestriktionen zu einer Verbesserung des empirischen Anlageerfolgs in der Markowitz-Optimierung gegenüber der traditionellen, unrestringierten Optimierung führt.

Im Zentrum der nachfolgenden empirischen Untersuchungen steht die Frage, inwiefern dem Schätzrisiko in erwarteten Renditen durch die Bestimmung der erwarteten Rendite unter Verwendung des Residual Income Modells begegnet werden kann.

Im Vergleich der out-of-sample Sharpe-Ratios der implementierten Strategien zeigt sich, dass die Bayesschen Schätzer für drei bzw. Dass Analystenschätzungen auch direkt d. Sie finden in ihrer empirischen Untersuchung, dass ein Anlageportfolio, welches den Handelsempfehlungen der Analysten mit den präzisesten Gewinnschätzungen für ein Unternehmen folgt und Long Short -Positionen in den Unternehmen mit Kauf Verkauf empfehlungen eingeht, eine positive Überrendite erzielen kann.

Auch diese finden empirische Evidenz für gewinnbringende Handelsstrategien auf Basis von Analystenschätzungen. Eine solche einheitliche Ausgangsschätzung erscheint auch in Hinblick auf den in der Literatur häufig berichteten guten Anlageerfolg der Investition in das globalvarianzminimale Portfolio erfolgversprechend.

Implementiert wurde hingegen — wie erwähnt — schon die Kombination aus mittlerer Indexrendite und Zeitreihenschätzer. Auch diese Strategie wird im Folgenden implementiert. Ein umfassender Vergleich der vorgenannten Strategien verlangt die Berücksichtigung zahlreicher anderer aus Theorie und Praxis bekannter Anlagestrategien.

Weiterhin wird auch die Möglichkeit der Vermeidung von Schätzrisiko in erwarteten Renditen durch eine Investition in das globalvarianzminimale Portfolio sowie die vollständige Vermeidung von Schätzrisiko in ersten und zweiten Momenten durch eine gleichgewichtete Anlage und das Indexinvestment berücksichtigt.

Diese Untersuchung erfolgt in Anschluss an die Implementierung der vorausgehend genannten Anlagestrategien und ist Bestandteil vielfältiger Stabilitätsuntersuchungen, die beispielsweise auch den Einfluss der Umschichtungshäufigkeit oder die Berücksichtigung von Transaktionskosten auf den Anlageerfolg erfassen. Die zentralen Ergebnisse dieser Untersuchungen lauten: Während er im deutschen Sample zu einer guten Performance deutlich oberhalb des Indexinvestments führt, ist der Erfolg für das US-amerikanische Sample gering.

Der traditionelle Ansatz der Portfoliooptimierung zeigt — wie aus der Literatur bekannt — in beiden 13 14 Ohne zusätzliche Information erfolgt bei einem einheitlichen Prior die Investition in das GMVP.

Studien, welche solche Ansätze zur Vermeidung von Schätzrisiken empfehlen, stammen bspw. Bei Berücksichtigung von Transaktionskosten kann die Portfoliooptimierung auf Basis des Bayesschen RIM-Schätzers ihren relativen Performancevorsprung ausweiten, da sie die geringsten Kosten aller aktiven Strategien besitzt.

Der weitere Aufbau des Kapitels ist wie folgt: Nachfolgend wird auf die empirische Implementierung und die Berücksichtigung des Schätzrisikos im Optimierungskalkül eingegangen.

Die Ergebnispräsentation der empirischen Untersuchungen mit den zugehörigen Stabilitätsuntersuchungen erfolgt für das deutsche Sample in Kapitel 3. Üblicherweise werden Zeitreihenschätzungen verwendet, die so behandelt werden, als seien es die wahren Parameter. Wird das Schätzrisiko jedoch im Optimierungsansatz zur Portfolioauswahl berücksichtigt, so führt dies zu Modifikationen hinsichtlich des von einem Investor als optimal erachteten Portfolios.

Dabei wird unterschieden zwischen der Berücksichtigung des Schätzrisikos im Optimierungsansatz für gegebene Parameterschätzer sowie der Berücksichtigung des 15 Für eine umfassende Abhandlung der Thematik vgl.

Ebenso besteht diese Äquivalenz, wenn die Wertpapierrenditen normalverteilt oder — allgemeiner gefasst — elliptisch verteilt sind. Unter Verwendung von 3. Bei einer Erhöhung des Parameters J sinken die Gewichte aller Aktien um den gleichen Faktor, während sich der risikolos investierte Anteil entsprechend erhöht.

Traditionell werden hierfür Zeitreihenschätzer verwendet. Die optimalen Gewichte des Aktienteilportfolios können auch über die Ableitung des Tangentialportfolios, d.

Dessen Gewichts1 vektor lautet: Dabei findet das Risiko fehlerhaft geschätzter Parameter in der Regel noch nicht einmal Erwähnung, vgl. Der erwartungstreue Zeitreihenschätzer der Kovarianzmatrix ergibt sich als: Dementsprechend erfolgt die empirische Bestimmung des Vektors der optimalen Gewichte traditionell über: Die Verwendung der geschätzten Parameter als seien es die wahren Parameter stellt allerdings ein heuristisches Vorgehen dar.

Dieses Schätzrisiko stellt eine zweite Risikoquelle neben dem Innovationsrisiko, d. Im Bayesschen Kontext wird die Unsicherheit hinsichtlich der geschätzten Parameter über einen diffusen Prior modelliert, d. So führt die Berücksichtigung des diffusen Priors nicht zu einer Veränderung der Schätzer der erwarteten Renditen, da der Prior keine Information hinsichtlich der Höhe der erwarteten Renditen enthält.

Vergleiche hierzu auch die Ausführungen in Kapitel 3. Gegenüber der traditionellen Umsetzung der Portfoliooptimierung werden die Einträge der Kovarianzmatrix einheitlich um einen Skalar gestreckt. Ein rationaler Investor, der sich seines Schätzrisikos bewusst ist, bezieht dieses in seine Anlageentscheidung ein.

In diesem Fall lautet der Vektor der optimalen Gewichte: Die Zusammenstellung des Tangentialportfolios, d. Eine Veränderung und somit Verbesserung des Anlageerfolgs ist jedoch möglich, wenn die Verteilung der erwarteten Rendite anstatt unter Verwendung eines diffusen Priors unter Verwendung eines sog.

Die Modellierung des diffusen Priors unterstellt, dass die unbekannte wahre erwartete Rendite unter Verwendung aller verfügbaren Informationen geschätzt wird. Im Vergleich zum traditionellen Ansatz, d. Bei der Modellierung des informativen Priors wird hingegen unterstellt, dass zusätzliche Informationen in die Schätzung der Verteilungsparameter eingebracht werden können.

In der vorliegenden Arbeit wird im Folgenden die Modellierung der erwarteten Rendite unter Berücksichtigung eines informativen Priors vorgenommen. So werden in den empirischen Analysen des Kapitels 3. So berechnet sich die wahrgenommene Portfoliovarianz für den Erstgenannten entsprechend 3. Wie die Analysen in Kapitel 2 gezeigt haben, besitzen die auf Basis von Analystenprognosen unter Verwendung des Residual Income Modells geschätzten erwarteten Renditen positive Eigenschaften.

Als Referenzpunkte der Beurteilung wurde in Kapitel 2 der traditionelle Zeitreihenschätzer sowie dessen Bayessche Kombination mit der mittleren historischen Indexrendite verwendet. Im Folgenden soll dieser Vergleich beibehalten werden: Wie in Kapitel 3. Zudem sei an dieser Stelle auf Kapitel 3. In der empirischen Umsetzung können beide Ansätze jedoch zu deutlich unterschiedlichen Anlageergebnissen hinsichtlich der realisierten Sharpe-Ratios führen.

Dies ist dadurch bedingt, dass in Perioden mit einer sehr geringen Differenz zwischen der erwarteten Rendite des Tangentialportfolios und dem risikolosen Zinssatz die Gerade durch den risikolosen Zinssatz den effizienten Rand risikobehafteter Anlagemöglichkeiten erst bei sehr hohen Werten der Portfoliovarianz tangiert, was zu extremen Gewichten in einzelnen Wertpapieren führt.

Während sich extrem positive und negative Renditerealisationen, die aus den extremen Gewichten resultieren, herausmitteln und die mittlere realisierte Rendite über den Untersuchungszeitraum somit kaum beeinflussen, führen diese Ausschläge für die Standardabweichung der Portfoliorendite zu einer deutlichen Erhöhung und somit zu einer geringeren realisierten Sharpe-Ratio.

Dies ist der 3. Neben dem Schätzer der erwarteten Rendite wird dazu auch ein Schätzer für die Varianz-Kovarianz-Matrix der Wertpapierrenditen benötigt. Das Single-Index-Modell impliziert 33 34 35 Grund, warum die empirische Umsetzung der Anlagestrategien in dieser Arbeit auf der Optimierung der Präferenzfunktion basiert. Die Vorgabe einer über alle Anlageperioden konstanten Risikoaversion J vermeidet derart extreme Gewichte in Einzelperioden, vgl. Ein empirisches Beispiel für deutlich höhere realisierte Sharpe-Ratios bei Optimierung der Präferenzfunktion gegenüber der Investition in das Tangentialportfolio findet sich beispielsweise in Jorion , S.

Die Optimierung der Präferenzfunktion bewirkt ebenfalls, dass in Perioden, in denen der risikolose Zinssatz oberhalb der erwarteten Rendite des GMVP liegt, eine theoretisch optimale Short-Position im Tangentialportfolio und keine Long-Position eingegangen wird. Die Vorgabe einer Modellstruktur in der Schätzung zweiter Momente hat sich als geeignet erwiesen, der Schätzfehlerproblematik aufgrund eines geringen Verhältnisses von verfügbaren Datenpunkten zur Anzahl der zu schätzenden Parameter zu begegnen.

In der vorliegenden Arbeit wird der Schätzfehlerproblematik hinsichtlich der Varianz-Kovarianz-Matrix zusätzlich durch eine erhöhte Datenfrequenz begegnet, vgl. Bei Investition in die auf Basis der verschiedenen Schätzer der Varianz-Kovarianz-Matrix bestimmten globalvarianzminimalen Portfolios aus Aktien für den Zeitraum bis , besitzt die Strategie unter Verwendung des Schätzers aus dem Single-Index-Modell die höchste out-of-sample Sharpe-Ratio.

Dies gilt ebenso für das auf Basis der verschiedenen Schätzungen bestimmte Tangentialportfolio. Dies entspricht der Intention des vorliegenden Kapitels, welche auf die Analyse der Eignung neuartiger Schätzer der erwarteten Rendite in der Implementierung der Portfoliooptimierung zielt.

Zudem führt die Schätzung der zweiten Momente auf Basis von Zeitreihendaten — anders als bei erwarteten Renditen — zu vergleichsweise präzisen Schätzungen und sollte daher nicht im Fokus der Analyse stehen. Da in Hinblick auf das Ziel ertragreicher Anlagestrategien in Literatur und Praxis jedoch zahlreiche weitere Vorschläge gemacht wurden, ist für die aussagekräftige Evaluation eine Erweiterung der Vergleichsbasis notwendig.

Deshalb wird im Rahmen der empirischen 36 37 38 39 Die tägliche Datenfrequenz wird verwendet, um die Präzision der Betaschätzung zu erhöhen. Die Präzision der Schätzung dieser Matrix erhöht sich aber mit steigender Datenfrequenz, wie Merton zeigt.

Deshalb führt eine Erhöhung der Datenfrequenz auch zu einer präziseren Schätzung von Beta. Zudem werden zwei Anlagestrategien betrachtet, für die keine Schätzung der erwarteten Rendite erforderlich ist.

Aber auch diese können als empirische Umsetzungen der Markowitz-Optimierung verstanden werden: Eine Strategie, die ebenfalls keine Parameterschätzungen erfordert, und in den nachfolgenden Untersuchungen als Benchmark dient, ist: Im Folgenden werden kurz die konkreten empirischen Implementierungen der vorgenannten Alternativstrategien erläutert. Diese wird wie die Zeitreihenschätzer der erwarteten Rendite für die Einzelaktien auf Basis der Monatsüberrenditen des dem Schätzzeitpunkt vorausgehenden Kalenderjahres geschätzt.

Die aktienindividuellen Betafaktoren werden entsprechend den vorausgehenden Ausführungen zur Implementierung des Single-Index-Modells bestimmt. Bezüglich der Ausgangsschätzung schlagen sie die Verwendung eines individuellen Priors für jede Aktie vor.

Dieser ist sowohl im Querschnitt als auch über die Zeit konstant. Ausnahmen bei steigenden Einkommen. Bewegung entlang der Angebotskurve. Markteintritt bei kurzfristiger Angebotskurve. Marktaustritt bei kurzfristiger Angebotskurve.

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Markteffizienz im Gleichgewicht 1. Markteffizienz im Gleichgewicht 2. Markteffizienz im Gleichgewicht 3. Effiziente Allokation Zusammenhang mit Marktgleichgewicht. Gründe, warum der Staat in Märkte eingreift und Praxisbeispiel. Marktmacht Monopol Preisstrategie, Wohnfahrtsverlust. Staatliche Eingriffe zur Verbesserung der Marktergebnisse für den Monopol. Dogma des Wirtschaftsliberalismus nach A.

Einflussfaktoren Investitionsverhalten von Unternehmen. Grundzüge der angebotsorientierten Wirtschaftspolitik.